Вывод 2 закона ньютона для вращательного движения. Второй закон ньютона для вращательного движения. Связь величин, характеризующих поступательное и вращательное движение

Дата написания: 15.03.2024

Время на чтение: 56 минут

Дата: __________ Зам.директора по УВР:___________

Тема; Второй закон Ньютона для вращательного движения

Цель:

Образоввательная: улировать и записать в математической форме второй закон Ньютона; объяснить зависимость между величинами, входящими в формулы этого закона;

Развивающая: развивать логическое мышление, умение объяснять проявления второго закона Ньютона в природе;

Воспитательная : формировать интерес к изучению физики, воспитывать трудолюбие, ответственность.

Тип урока: изучение нового материала.

Демонстрации: зависимость ускорения тела от силы, действующей на него.

Оборудование: тележка с легкими колесами, вращающийся диск, набор грузиков, пружина, блок, брусок.

ХОД УРОКА

Организационный момент

Актуализация опорных знаний учащихся

Цепочка формул (воспроизвести формулы):

II. Мотивация учебной деятельности учащихся

Учитель. С помощью законов Ньютона можно не только объяснять наблюдаемые механические явления, но и предсказывать их ход. Напомним, что прямая основная задача механики состоит в нахождении положения и скорости тела в любой момент времени, если известны его положение и скорость в начальный момент времени и силы, которые действуют на него. Эта задача решается с помощью второго закона Ньютона, который сегодня мы будем изучать.

III. Изучение нового материала

1. Зависимость ускорения тела от силы, действующей на него

Более инертное тело имеет большую массу, менее инертно - меньшую:

2. Второй закон Ньютона

Второй закон динамики Ньютона устанавливает связь между кинематическими и динамическими величинами. Чаще всего он формулируется так: ускорение, который получает тело, прямо пропорционально массе тела и имеет то же направление, что и сила:

где - ускорение, - равнодействующая сил, действующих на тело, Н; m - масса тела, кг.

Если из этого выражения определить силу , то получим второй закон динамики в такой формулировке: сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на ускорение, которого предоставляет эта сила.

Ньютон сформулировал второй закон динамики несколько иначе, использовав понятие количества движения (импульса тела). Импульс - произведение массы тела на его скорость (то же, что количество движения) - одна из мер механического движения: Импульс (количество движения) является величиной векторной. Поскольку ускорение , то

Ньютон сформулировал свой закон так: изменение количества движения тела пропорциональна действующей силе и происходит по направлению той прямой, вдоль которой эта сила действует.

Стоит рассмотреть еще одна из формулировок второго закона динамики. В физике широко используется векторная величина, которая называется импульсом силы - это произведение силы на время ее действия: Используя это, получим . Изменение импульса тела равно импульсу силы, которая на него действует.

Второй закон динамики Ньютона обобщил исключительно важный факт: действие сил не вызывает собственно движения, а лишь изменяет его; сила вызывает изменение скорости, т.е. ускорение, а не саму скорость. Направление силы совпадает с направлением скорости лишь в частичном случае прямолинейного рівноприскореного (Δ 0) движения. Например, во время движения тела, брошенного горизонтально, сила тяжести направлена вниз, а скорость образует с силой определенный угол, что во время полета тела меняется. А в случае равномерного движения тела по окружности сила все время направлена перпендикулярно скорости движения тела.

Единица измерения силы в СИ определяют на основе второго закона Ньютона. Единица измерения силы называется [H] и определяется так: сила в 1 ньютон придает телу массой 1 кг ускорение 1 м/с2. Таким образом,

Примеры применения второго закона Ньютона

Как пример применения второго закона Ньютона можно рассмотреть, в частности, измерение массы тела при помощи взвешивания. Примером проявления второго закона Ньютона в природе может быть сила, что действует на нашу планету со стороны Солнца, и др.

Границы применения второго закона Ньютона:

1) система отсчета должна быть инерционной;

2) скорость тела должна быть гораздо меньшей, чем скорость света (для скоростей, близких к скорости света, второй закон Ньютона используется в импульсном виде: ).

IV. Закрепление материала

Решение задач

1. На тело массой 500 г одновременно действуют две силы 12 Н и 4 Н, направленные в противоположном направлении вдоль одной прямой. Определить модуль и направление ускорения.

Дано: m = 500 г = 0,5 кг, F1 = 12 Н, F2 = 4 Н.

Найти: а - ?

Согласно второму закону Ньютона: , где Проведем ось Ox, тогда проекция F = F1 - F2. Таким образом,

Ответ: 16 м/с2, ускорение напрямлене в сторону действия большей силы.

2. Координата тела изменяется по закону x = 20 + 5t + 0,5t2 под действием силы 100 Н. Найти массу тела.

Дано: х = 20 + 5t + 0,5t2, F = 100H

Найти: m - ?

Под действием силы тело движется рівноприскорено. Следовательно, его координата изменяется по закону:

Согласно второму закону Ньютона:

Ответ: 100 кг.

3. Тело массой 1,2 кг приобрело скорости 12 м/с на расстоянии 2,4 м под действием силы 16 Н. Найти начальную скорость тела.

Дано: = 12 м/с, s = 2,4m, F = 16H, m = 1,2 кг

Найти: 0 - ?

Под действием силы тело приобретает ускорение согласно второму закону Ньютона:

Для рівноприскореного движения:

Из (2) выразим время t:

и подставим для t в (1):

Подставим выражение для ускорения:

Ответ: 8,9 м/с.

V. Итоги урока

Фронтальная беседа за вопросами

1. Как связаны между собой такие физические величины, как ускорение, сила и масса тела?

2. Или можно по формуле утверждать, что сила, действующая на тело, зависит от его массы и ускорения?

3. Что такое импульс тела (количество движения)?

4. Что такое импульс силы?

5. Какие формулировки второго закона Ньютона вы знаете?

6. Какой важный вывод можно сделать из второго закона Ньютона?

VI. Домашнее задание

Проработать соответствующий раздел учебника.

Решить задачи:

1. Найдите модуль ускорения тела массой 5 кг под действием четырех приложенных к нему сил, если:

а) F1 = F3 = F4 = 20 H, F2 = 16 H;

б) F1 = F4 = 20 H, F2 = 16 H, F3 = 17 H.

2. Тело массой 2 кг, двигаясь прямолинейно, за 4 с изменило свою скорость с 1 м/с до 2 м/с.

а) С каким ускорением двигалось тело?

б) Какая сила действовала на тело в направлении его движения?

в) Как изменился импульс тела (количество движения) за рассматриваемый время?

г) Какой импульс силы, действовавшей на тело?

д) Какое расстояние прошло тело за рассматриваемый время движения?

Твёрдое тело, вращающееся вокруг некоторых осей, проходящих через центр масс, если оно освобождено от внешних воздействий, сохраняет вращение неопределённо долго . (Это заключение аналогично первому закону Ньютона для поступательного движения).

Возникновение вращения твёрдого тела всегда вызывается действием внешних сил, приложенных к отдельным точкам тела. При этом неизбежно возникновение деформаций и появление внутренних сил, обеспечивающих в случае твёрдого тела практическое сохранение его формы. При прекращении действия внешних сил вращение сохраняется: внутренние силы не могут ни вызвать, ни уничтожить вращение твёрдого тела.

Результатом действия внешней силы на тело, имеющее неподвижную ось вращения, является ускоренное вращательное движение тела . (Это заключение аналогично второму закону Ньютона для поступательного движения).

Основной закон динамики вращательного движения : в инерциальной системе отсчёта угловое ускорение , приобретаемое телом, вращающимся относительно неподвижной оси, пропорционально суммарному моменту всех внешних сил , действующих на тело, и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно данной оси:

Можно дать и более простую формулировку основному закону динамики вращательного движения (его ещё называют вторым законом Ньютона для вращательного движения ): вращающий момент равен произведению момента инерции на угловое ускорение :

Моментом импульса (моментом количества движения , угловым моментом ) тела называется произведение его момента инерции на угловую скорость :

Момент импульса – векторная величина. Его направление совпадает с направлением вектора угловой скорости.

Изменение момента импульса определяется следующим образом:

. (I.112)

Изменение момента импульса (при неизменном моменте инерции тела) может произойти, только вследствие изменения угловой скорости и всегда обусловлено действием момента силы .

Согласно формуле , а также формулам (I.110) и (I.112) изменение момента импульса можно представить в виде:

. (I.113)

Произведение в формуле (I.113) называется импульсом момента силы или движущим моментом . Он равен изменению момента импульса.

Формула (I.113) справедлива при условии, что момент силы не меняется с течением времени . Если же момент силы зависит от времени, т.е. , то

. (I.114)

Формула (I.114) показывает, что: изменение момента импульса равно интегралу по времени от момента силы . Кроме того, если эту формулу представить в виде: , то из неё будет следовать определение момента силы : мгновенный момент силы представляет собой первую производную момента импульса по времени ,

Продифференцировав момент импульса по времени, получим основное уравнение динамики вращательного движения, известное как второй закон Ньютона для вращательного движения, формулируемый следующим образом: скорость изменения момента импульса L тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, равна результирующему моменту всех внешних сил M , приложенных к телу, относительно этой точки:

d L /dt = M (14)

Так как момент импульса вращающегося тела прямо пропорционален угловой скорости  вращения, а производная d /dt есть угловое ускорение  , то это уравнение может быть представлено в виде

J  = M (15)

где J – момент инерции тела.

Уравнения (14) и (15), описывающие вращательное движение тела, по своему содержанию аналогичны второму закону Ньютона для поступательного движения тел (m a = F ). Как видно, при вращательном движении в качестве силы F используется момент силы M , в качестве ускорения a – угловое ускорение  , а роль массы m , характеризующей инерционные свойства тела, играет момент инерции J .

Момент инерции

Момент инерции твердого тела определяет пространственное распределение массы тела и является мерой инертности тела при вращательном движении. Для материальной точки, или элементарной массы m i , вращающейся вокруг оси, введено понятие момента инерции, который представляет собой скалярную величину, численно равную произведению массы на квадрат расстояния r i до оси:

J i = r i 2 m i (16)

Момент же инерции объемного твердого тела есть сумма моментов инерции составляющих его элементарных масс:

Для однородного тела с равномерно распределенной плотностью = m i /V i (V i – элементарный объем) можно записать:

или, в интегральной форме (интеграл берется по всему объему):

J =  ∫ r 2 dV (19)

Использование уравнения (19) позволяет рассчитать моменты инерции однородных тел различной формы относительно любых осей. Наиболее простой результат, однако, получается при расчете моментов инерции однородных симметричных тел относительно их геометрического центра, который в данном случае является центром масс. Рассчитанные таким образом моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы относительно осей, проходящих через центры масс, приведены в таблице 1.

Момент инерции тела относительно любой оси можно найти, зная собственный момент инерции тела, т.е. момент инерции относительно оси, проходящей через его центр масс, используя теорему Штейнера. Согласно ей момент инерции J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции J 0 относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния r между осями:

J = J 0 + m r 2 (20)

Ось, при вращении тела вокруг которой, не возникает момент силы, стремящийся изменить положение оси в пространстве, называется свободной осью данного тела. У тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные свободные оси, проходящие через его центр масс, которые называются главными осями инерции тела. Собственные моменты инерции тела относительно главных осей инерции называются главными моментами инерции.

Таблица 1.

Моменты инерции некоторых однородных тел (с массой m ) правильной геометрической формы относительно осей, проходящих через центры масс

Тело	Расположение оси (указано стрелкой)	Момент инерции
Шар радиуса r		2mr 2 /5 (ф1)
Обруч радиуса r		mr 2 (ф2)
Диск радиуса r при толщине, пренебрежимо малой по сравнению с радиусом		mr 2 /4 (ф3)
		mr 2 /2 (ф4)
Сплошной цилиндр радиуса r с высотой l		mr 2 /2 (ф5)
Сплошной цилиндр радиуса r с высотой l		mr 2 /4 + ml 2 /12 (ф6)
Полый цилиндр с внутренним радиусом r и толщиной стенок d		m [(r + d ) 2 + r 2 ]/2 (ф7)
Тонкий стержень длиной l		ml 2 /12 (ф8)
Прямоугольный параллелепипед со сторонами a , b и c		m (a 2 + b 2)/2 (ф9)
Куб с длиной ребра a		ma 2 /6 (ф10)

Описание установки и принципа измерений:

Установка, используемая в настоящей работе для изучения основных закономерностей динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси, называется маятником Обербека. Общий вид установки показан на рисунке 4.

Основным элементом установки, осуществляющим вращательное движение вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка, является крестовина1 , состоящая из четырех ввинченных в шкив 2 под прямым углом друг к другу стержней (спиц), на каждый из которых надет свободно перемещаемый вдоль стержня цилиндрический груз 3 массой , закрепляемый в нужном положении винтом4 . Вдоль всей длины спиц с сантиметровым интервалом нанесены поперечные нарезки, с помощью которых можно легко отсчитать расстояния от центра расположения грузов до оси вращения. Перемещением грузов достигается изменение момента инерции J всей крестовины.

Вращение крестовины происходит под действием силы натяжения (силы упругости) нити 5 , закрепленной одним своим концом в каком-либо одном из двух шкивов (6 , или 7 ), на который при вращении крестовины она наматывается. Другой конец нити с прикрепленным к нему грузом P 0 8 переменной массы m 0 перекидывается через неподвижный блок 9 , который меняет направление вращающей силы натяжения, совпадающей с касательной к соответствующему шкиву. Использование одного из двух шкивов, различающихся радиусами, позволяет изменять плечо вращающей силы, а, следовательно, и ее момент M .

Проверка различных закономерностей вращательного движения в данной работе сводится к измерению времени t опускания груза с высоты h .

Для определения высоты опускания груза на маятнике Обербека служит миллиметровая шкала 10 , прикрепленная к вертикальной стойке 11 . Величина h соответствует расстоянию между рисками, одна из которых нанесена на верхнем подвижном кронштейне 12 , а другая – на нижнем кронштейне 13 , укрепленном неподвижно в стойке 11 . Подвижный кронштейн можно, перемещая вдоль стойки, фиксировать в любом нужном положении, задавая высоту опускания груза.

Автоматическое измерение времени опускания груза осуществляется с помощью электронного миллисекундомера, цифровая шкала которого 14 расположена на передней панели, и двух фотоэлектрических датчиков, один из которых 15 закреплен на верхнем кронштейне, а другой 16 – на нижнем неподвижном кронштейне. Датчик 15 подает сигнал запуска электронного секундомера при начале движения груза от его верхнего положения, а датчик 16 при достижении грузом нижнего положения подает сигнал, который останавливает секундомер, фиксируя время t прохождения грузом расстояния h , и одновременно включает расположенный за шкивами 6 и 7 тормозной электромагнит, останавливающий вращение крестовины.

Упрощенная схема маятника представлена на рисунке 5.

На грузP 0 действуют постоянные силы: сила тяжести mg и сила натяжения нити T , под действием которых груз движется вниз равноускоренно с ускорением a . Шкив радиуса r 0 под действием силы натяжения нити T вращается с угловым ускорением , при этом тангенциальное ускорение a t крайних точек шкива будет равно ускорению a опускающегося груза. Ускорения a и  связаны соотношением:

a = a t = r 0 (21)

Если время опускания груза P 0 обозначить через t , а пройденный им путь через h , то по закону равноускоренного движения при начальной скорости, равной 0, ускорение a может быть найдено из соотношения:

a = 2h /t 2 (22)

Измерив штангенциркулем диаметр d 0 соответствующего шкива, на который намотана нить, и вычислив его радиус r o , из (21) и (22) можно рассчитать угловое ускорение вращения крестовины:

 = a /r 0 = 2h /(r 0 t 2) (23)

Когда привязанный к нити груз опускается, двигаясь равноускоренно, нить разматывается и приводит маховик в равноускоренное вращательное движение. Сила, вызывающая вращение тела, есть сила натяжения нити. Ее можно определить из следующих соображений. Поскольку, согласно второму закону Ньютона, произведение массы движущегося тела на его ускорение равно сумме действующих на тело сил, то в данном случае на подвешенное на нити и опускающееся с равномерным ускорением a тело массой m 0 действуют две силы: вес тела m 0 g , направленный вниз, и сила натяжения нити T , направленная вверх. Поэтому имеет место соотношение:

m 0 a = m 0 g – T (24)

T = m 0 (g – a ) (25)

Следовательно, вращающий момент будет равен:

M = Tr 0 = (m 0 g – m 0 a )r 0 (26)

где r 0 – радиус шкива.

Если пренебречь силой трения диска об ось крестовины, то можно считать, что на крестовину действует только момент M силы натяжения нити T . Поэтому, воспользовавшись вторым законом Ньютона для вращательного движения (13), можно рассчитать момент инерции J крестовины с вращающимися на ней грузами с учетом (16) и (19) по формуле:

J = M / = m 0 (g – a )r 0 2 t 2 /2h (27)

или, подставляя выражение для a (15):

J = m 0 r 0 2 (t 2 g /2h – 1) (28)

Полученное уравнение (28) является точным. В то же время, проделав опыты по определению ускорения движения груза P 0 , можно убедиться, что a << g , и поэтому в (27) значение (g – a ), пренебрегая величиной a , можно принять равным g . Тогда выражение (27) примет вид:

J = M / = m 0 r 0 2 t 2 g /2h (29)

Если величины m 0 , r 0 и h в ходе проведения опытов не меняются, то между моментом инерции крестовины и временем опускания груза имеется простая квадратичная зависимость:

J = Kt 2 (30)

где K = m 0 r 0 2 g /2h . Таким образом, измерив время t опускания груза массой m 0 , и зная высоту его опускания h , можно рассчитать момент инерции крестовины, состоящей из спиц, шкива, в котором они закреплены, и грузов, находящихся на крестовине. Формула (30) позволяет проверить основные закономерности динамики вращательного движения.

Если момент инерции тела постоянен, то разные вращающие моменты М 1 и М 2 сообщат телу разные угловые ускорения ε 1 и ε 2 , т.е. будем иметь:

M 1 = J ε 1 , M 2 = J ε 2 (31)

Сравнивая эти выражения, получаем:

M 1 /M 2 = ε 1 /ε 2 (32)

С другой стороны, один и тот же вращающий момент сообщит телам с разными моментами инерции различные угловые ускорения. Действительно,

M = J 1 ε 1 , M = J 2 ε 2 (33)

J 1 ε 1 = J 2 ε 2 , или J 1 /J 2 = ε 1 /ε 2 (34)

Порядок выполнения работы:

Задание 1 . Определение момента инерции крестовины и проверка зависимости углового ускорения от момента вращающей силы.

Задание выполняется с крестовиной без надетых на нее грузов.

Выберите и установите высоту h опускания груза m 0 путем перемещения верхнего подвижного кронштейна 12 (высота h может быть задана преподавателем). Значение h занесите в таблицу 2.

Измерьте штангенциркулем диаметр выбранного шкива и найдите его радиус r 0 . Значение r 0 занесите в таблицу 2.

Выбрав наименьшее значение массы m 0 , равное массе подставки, на которую надеваются дополнительные грузы, намотайте нить на выбранный шкив так, чтобы груз m 0 был поднят на высоту h . Измерьте три раза время t 0 опускания этого груза. Данные запишите в таблицу 2.

Повторите предыдущий опыт, для различных (от трех до пяти) масс m 0 опускающегося груза, учтя массу подставки, на которую одеваются грузы. Массы подставки и грузов указаны на них.

После каждого опыта проведите следующие расчеты (занося их результаты в таблицу 2):

рассчитайте среднее время опускания груза t 0 ср. и, используя его, по формуле (22) определите линейное ускорение грузов a . С таким же ускорением движутся точки на поверхности шкива;
зная радиус шкива r 0 , по формуле (23) найдите его угловое ускорение ε;
используя полученное значение линейного ускорения a по формуле (26) найдите вращающий момент М ;
на основе полученных значений ε и M вычислите по формуле (29) момент инерции маховика J 0 без грузов на стержнях.

По результатам всех опытов рассчитайте и занесите в таблицу 2 среднее значение момента инерции J 0,ср. .

Для второго и последующих опытов рассчитайте, занося результаты расчетов в таблицу 2, отношения ε i /ε 1 и М i /M 1 (i – номер опыта). Проверьте правильность соотношения М i /M 1 = ε 1 /ε 2 .

По данным таблицы 2 для какой-нибудь одной строки рассчитайте погрешности измерений момента инерции по формуле:

 J = J 0 /J 0, ср. = m 0 /m 0 + 2r 0 /r 0 + 2t /t ср. + h /h ; J 0 =  J J 0,ср.

Значения абсолютных погрешностей r , t , h считайте равными приборным погрешностям; m 0 = 0,5 г.

Таблица 2.

Постоянные в данном задании параметры установки, используемые в расчетах:

r 0 , м

m 0 , кг

t 0 , с

t 0ср. , с

a , м/с 2

J 0 , кгм 2

J 0,ср. , кгм 2

J 0 , кгм 2

M i /M 1

Задание 2 . Проверка зависимости углового ускорения от величины момента инерции при неизменном вращающем моменте.

Крестовина состоит из четырех спиц (стержней), четырех грузов и двух шкивов, насаженных на ось вращения. Так как массы шкивов малы и близко расположены к оси вращения, можно считать, что момент инерции J всей крестовины равен сумме моментов инерции всех стержней (т.е. момента инерции крестовины без грузов J 0) и моментов инерции всех грузов, находящихся на стрежнях J гр, т.е.

J = J 0 + J гр (35)

Тогда момент инерции грузов относительно оси вращения равен:

J гр = J – J 0 (36)

Обозначив момент инерции крестовины с грузами, находящимися на расстоянии r 1 от оси вращения через J 1 , а соответствующий момент инерции самих грузов через J гр1 , перепишем (36) в виде:

J гр1 = J 1 – J 0 (37)

Аналогично для грузов, расположенных на расстоянии r 2 от оси вращения:

J гр2 = J 2 – J 0 (38)

Учитывая приближенное соотношение (30), имеем:

J гр 1 = Kt 1 2 – Kt 0 2 = K (t 1 2 – t 0 2) и J гр 2 = Kt 2 2 – Kt 0 2 = K (t 2 2 – t 0 2) (39)

где t 1 – время опускания груза m 0 для случая, когда грузы на стержнях укреплены на расстоянии r 1 от оси вращения; t 2 – время опускания груза m 0 при закреплении грузов на стержнях на расстоянии r 2 от оси вращения; t 0 – время опускания груза m 0 при вращении крестовины без грузов.

Отсюда следует, что отношение моментов инерции грузов, находящихся на разных расстояниях от оси вращения, связано с временными характеристиками процесса опускания груза m 0 в виде:

J гр 1 /J гр 2 = (t 1 2 – t 0 2)/(t 2 2 – t 0 2) (40)

С другой стороны, приняв приближенно 4 груза, находящиеся на крестовине, за точечные массы m , можно считать, что:

J гр 1 = 4mr 1 2 и J гр 2 = 4mr 2 2 , (41)

J гр1 /J гр2 = r 1 2 /r 2 2 (42)

Совпадение правых частей уравнений (40) и (42) могло бы служить экспериментальным подтверждением наличия прямой пропорциональной зависимости момента инерции материальных точек от квадрата их расстояния до оси вращения. На самом деле оба соотношения (40) и (42) являются приблизительными. Первое из них получено в предположении, что ускорением a опускания груза m 0 можно пренебречь в сравнении с ускорением свободного падения g , и, кроме того, при его выводе не учтен момент сил трения шкивов об ось и момент инерции всех шкивов относительно оси вращения. Второе относится к точечным массам (т.е. массам тел, размерами которых можно пренебречь по сравнению с их расстоянием до центра вращения), каковыми цилиндрические грузы не являются, и поэтому, чем дальше от оси вращения они находятся, тем точнее выполняется соотношение (42). Этим и можно объяснить некоторое расхождение результатов, получаемых экспериментально, с теорией.

Для проверки зависимости (42) проделайте опыты в следующей последовательности:

Закрепите 4 груза на стержнях ближе к их концам на одинаковом расстоянии от шкива. Определите и запишите в таблицу 3 расстояние r 1 от оси вращения до центров масс грузов. Оно определяется по формуле: r 1 = r ш + l + l ц /2, где r ш – радиус шкива, на котором закреплены стержни, l – расстояние от груза до шкива, l ц – длина цилиндрического груза. Диаметр шкива и длину грузов измерьте штангенциркулем.

Измерьте три раза время t 1 опускания груза m 0 и рассчитайте среднее значение t 1ср. . Опыт проделайте для тех же масс m 0 , что и в задании 1. Данные запишите в таблицу 3.

Сдвиньте грузы на спицах к центру на произвольное, одинаковое для всех спиц расстояние r 2 < r 1 . Вычислите это расстояние (r 2) с учетом замечаний в п. 1 и запишите в таблицу 3.

Измерьте три раза время t 2 опускания груза m 0 для этого случая. Рассчитайте среднее значение t 2ср. , повторите опыт для тех же масс m 0 , как и в п. 2 и запишите полученные данные в таблицу 3.

Перенесите из таблицы 2 в таблицу 3 значения t 0ср. , полученные в предыдущем задании для соответствующих значений m 0 .

Для всех значений m 0 , используя имеющиеся средние значения t 0 , t 1 и t 2 , по формуле (40) рассчитайте величину b , равную отношению моментов инерции грузов, находящихся на разных расстояниях от оси вращения: b = J гр.1 /J гр.2 , и определите b ср. . Результаты запишите в таблицу 3.

По данным любой одной строки таблицы 3 рассчитайте погрешность, допущенную при определении отношения (40), пользуясь правилами нахождения погрешностей при косвенных измерениях:

 b = b /b ср. = 2t (t 1 + t 0)/(t 1 2 – t 0 2) + 2t (t 2 + t 0)/(t 2 2 – t 0 2); b =  b b ср.

Рассчитайте значение отношения r 1 2 /r 2 2 и запишите в таблицу 3. Сравните это отношение со значением b ср. и проанализируйте некоторые расхождения в пределах погрешности опыта полученных результатов с теорией.

Таблица 3.

m 0 , кг

r 1 , м

t 1 , с

t 1ср. , с

r 2 , м

t 2 , с

t 2ср. , с

t 0ср. , с

r 1 /r 2

Задание 3 . Проверка формул для моментов инерции тел правильной формы.

Теоретически рассчитанные формулы для определения собственных моментов инерции различных однородных тел правильной формы, т.е. моментов инерции относительно осей, проходящих через центры масс этих тел, приведены в таблице 1. В то же время, пользуясь полученными в заданиях 1 и 2 экспериментальными данными (таблицы 2 и 3) можно рассчитать собственные моменты инерции таких тел правильной формы, как грузы, надеваемые на стержни крестовины, а также сами стержни, и сравнить полученные значения с теоретическими значениями.

Так, момент инерции четырех грузов, находящихся на расстоянии r 1 от оси вращения, можно рассчитать на основе экспериментально определенных величин t 1 и t 0 по формуле:

J гр1 = K (t 1 2 – t 0 2) (43)

Коэффициент K в соответствии с введенным в (23) обозначением составляет

K = m 0 r 0 2 g /2h (44)

где m 0 – масса опускающегося груза, подвешенного на нити; h – высота его опускания; r 0 – радиус шкива, на который наматывается нить; g – ускорение свободного падения (g = 9,8 м/с 2).

Рассматривая грузы, надетые на спицы, как однородные цилиндры с массой m ц и учитывая правило аддитивности моментов инерции, можно считать, что момент инерции одного такого цилиндра, вращающегося вокруг оси, перпендикулярной его оси вращения и расположенной на расстоянии r 1 от его центра масс, составляет

J ц1 = K (t 1 2 – t 0 2)/4 (45)

По теореме Штейнера этот момент инерции является суммой момента инерции цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс цилиндра перпендикулярно его оси вращения J ц0 , и значения произведения m ц r 1 2:

J ц1 = J ц0 + m ц r 1 2 (46)

J ц 0 = J ц 1 – m ц r 1 2 = K (t 1 2 – t 0 2)/4 – m ц r 1 2 (47)

Таким образом, мы получили формулу для экспериментального определения собственного момента инерции цилиндра относительно оси, перпендикулярной его оси вращения.

Аналогично, момент инерции крестовины, т.е. всех спиц (стержней), можно рассчитать по формуле:

J 0 = Kt 0 2 (48)

где коэффициент K определяется так же, и в предыдущем случае.

Для одного стержня, соответственно:

J ст = Kt 0 2 /4 (49)

Воспользовавшись теоремой Штейнера (здесь m ст – масса стержня, r ст – расстояние от его середины до оси вращения и J ст0 – собственный момент инерции стержня относительно перпендикулярной ему оси):

J ст = J ст0 + m ст r ст 2 (50)

и учитывая, что один из концов стержня находится на оси вращения, т.е. r ст составляет половину его длины l ст, мы получаем формулу для экспериментального определения момента инерции стержня относительно перпендикулярной ему оси, проходящей через его центр масс:

J ст0 = J ст – m ст l ст 2 /4 = (Kt 0 2 – m ст l ст 2)/4 (51)

Для проверки соответствия значений собственных моментов инерции однородных тел правильной формы, полученных экспериментально и рассчитанных теоретически, воспользуйтесь данными заданий 1 и 2 и проведите следующие операции:

В таблицу 4 перенесите из таблицы 2 значения r 0 , h и m 0 .

Для всех, использовавшихся в заданиях 1 и 2, значений m 0 рассчитайте значения K и запишите их в таблицу 4.

Значения t 1ср. и t 0ср. из таблицы 3 для соответствующих значений m 0 перенесите в таблицу 4 (в столбцы t 1 и t 0).

Занесите в таблицу 4 значение массы груза-цилиндра m ц (написано на грузе) и перенесите в нее из таблицы 3 значение r 1 .

По формуле (47) для разных значений m 0 рассчитайте экспериментальные значения момента инерции цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно оси симметрии цилиндра J ц0 (э), и запишите их в таблицу 4. Рассчитайте и запишите среднее J ц0 (э‑с) экспериментальное значение.

Измерьте штангенциркулем длину l ц и диаметр d ц груза-цилиндра. Запишите в таблицу 4 значения l ц и r ц = d ц /2.

Используя значения l ц, r ц, и m ц, по формуле (ф6) из таблицы 1 рассчитайте J ц0 (т) – теоретическое значение момента инерции цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно оси симметрии цилиндра.

Измерьте полную длину стержня, учитывая, что l ст = r ш + l , где r ш – радиус шкива, на котором укреплены стержни, и l – расстояние от конца стержня до шкива (l ст можно определить и как половину измеренного расстояния между концами двух противоположно направленных стержней). Запишите значения l ст и массы стержня m ст = 0,053 кг в таблицу 4.

По формуле (51) для разных значений m 0 рассчитайте экспериментальные значения момента инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно стержню J ст0 (э), и запишите их в таблицу 4. Рассчитайте и запишите среднее J ст0 (э‑с) экспериментальное значение.

Используя значения l ст и m ст, по формуле (ф8) из таблицы 1 рассчитайте J ц0 (т) – теоретическое значение момента инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно стержню.

Сравните полученные экспериментально и теоретически значения моментов инерции цилиндра и стержня. Проанализируйте имеющиеся расхождения.

Таблица 4.

Для цилиндра

Для стержня

J ц0 (э)

J ц0 (э‑с)

J ц0 (т)

J ст0 (э)

J ст0 (э‑с)

J ст0 (т)

Контрольные вопросы для подготовки к работе:

Сформулировать второй закон Ньютона для вращательного движения.

Что называется моментом инерции элементарной массы и твердого тела? Физический смысл момента инерции.

Что называется моментом силы относительно точки и оси вращения? Как определить направление вектора момента сил относительно точки?

Какова должна быть зависимость между угловым ускорением и моментом вращающей силы при постоянном моменте инерции? Как эту зависимость проверить практически?

Как зависит момент инерции тела от распределения в нем массы или распределения массы в системе вращающихся тел? Как убедиться в этом практически?

Как определить момент инерции крестовины момент инерции вращающихся грузов и спиц при отсутствии силы трения?

Контрольные вопросы для сдачи зачета:

Выведите расчетные формулы для всех трех заданий.

Как будут изменяться величины , J и M при неизменном положении грузов на спицах, если

а) увеличить радиуса шкива r 0 при постоянной массе опускающегося груза m 0 ?

б) увеличить m 0 при постоянном r 0 ?

Как изменится момент инерции крестовины с грузами, если их расстояние от оси вращения уменьшить в три раза при неизменном значении m 0 ? Почему?

Чему равен момент инерции простейших тел: стержня, обруча, диска.

Угловая скорость и угловое ускорение тела: определение и смысл этих величин.

УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ

Макаров Игорь Евгеньевич, профессор, д.х.н.

Юрик Тамара Константиновна, доцент, к.х.н.

Изучение законов вращения на маятнике Обербека

(без учета силы трения)

Методические указания к лабораторной работе

Компьютерная верстка Скворцов И.М.

Технический редактор Киреев Д.А.

Ответственный за выпуск Морозов Р.В.

Бумага офсетная. Печать на ризографе.

Усл.печ.л. Тираж экз. Заказ

Информационно-издательский центр МГУДТ

Основной закон динамики вращательного движения : в инерциальной системе отсчёта угловое ускорение, приобретаемое телом, вращающимся относительно неподвижной оси, пропорционально суммарному моменту всех внешних сил, действующих на тело, и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно данной оси:

Момент импульса – векторная величина. Его направление совпадает с направлением вектора угловой скорости.

Изменение момента импульса определяется следующим образом:

Согласно формуле, а также формулам (I.110) и (I.112) изменение момента импульса можно представить в виде:

Формула (I.113) справедлива при условии, что момент силы не меняется с течением времени. Если же момент силы зависит от времени, т.е. , то

Выражение (I.115) является ещё одной формой основного уравнения (закона ) динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твёрдого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси .

В замкнутой системе момент внешних сил и, следовательно:

Формула (I.116) представляет собой закон сохранения момента импульса: векторная сумма всех моментов импульса относительно любой оси для замкнутой системы остается постоянной в случае равновесия системы. В соответствии с этим, момент импульса замкнутой системы относительно любой неподвижной точки не изменяется со временем Закон сохранения момента импульса – фундаментальный закон природы .

Обратите внимание: полный момент импульса системы равен векторной сумме моментов импульса отдельных частей системы.

Применение второго закона Ньютона для вращательного движения

Согласно второму закону Ньютона, ускорение тела под действием силы пропорционально величине силы и обратно пропорционально массе объекта:

Зададимся вопросом, действует ли второй закон Ньютона для вращательного движения?

Используя аналоги характеристик поступательного и вращательного движений второй закон Ньютона для вращательного движения будет иметь вид:

роль ускорения а выполняет угловое ускорение α;
роль силы F — момент силы М;
массу m — заменяет момент инерции I.

Допустим, что тело движется по окружности под действием приложенной по касательной к окружности тангенциальной силой, которая приводит к увеличение тангенциальной скорости мячика, не путать с нормальной силой, направленной вдоль радиуса окружности вращения (подробно тангенциальная и нормальная скорость рассмотрена на странице «Параметры вращательного движения»).

Умножим обе части равенства, описывающего второй закон Ньютона, на радиус окружности r:

Таким образом, мы совершили переход от второго закона Ньютона для поступательного движения к его аналогу для движения вращательного. Следует отметить, что данная формула справедлива только для материальной точки, для протяженного объекта необходимо использовать другие формулы, которые будут рассмотрены позже.

Чтобы завершить переход от описания поступательного движения к вращательному, используем связь между угловым ускорением α и тангенциальным ускорением а:

Совершаем подставку одной формулы в другую и получаем:

Полученная формула связывает момент силы, действующей на материальную точку, и ее углового ускорения. Связь осуществляется через коэффициент пропорциональности m·r 2 , который называют моментом инерции материальной точки и обозначают I (измеряется в кг·м 2).

В итоге, мы получили эквивалент второго закона Ньютона для вращательного движения:

В том случае, если на тело действует одновременно несколько сил, второй закон Ньютона принимает следующий вид:

ΣF — векторная сумма всех сил, которые действуют на объект.

В случае, если на объект действуют одновременно несколько моментов сил, второй закон Ньютона примет вид:

ΣМ — векторная сумма всех моментов сил, которые действуют на объект.

prosto-o-slognom.ru

1.Напишите основное уравнение динамики вращательного движения (2ой закон Ньютона для вращательного движения).

Это выражение носит название основного уравнения динамики вращательного движения и формулируется следующим образом: изменение момента количества движения твердого тела, равно импульсу момента всех внешних сил, действующих на это тело.

2.Чему равен момент силы? (формула в векторном и скалярном виде, рисунки).

Момент силы (синонимы: крутящий момент; вращательный момент; вращающий момент ) - физическая величина, характеризующая вращательное действие силы на твёрдое тело.

Момент силы – векторная величина (М?)

(векторный вид) М?= |r?*F?|,r– расстояние от оси вращения, до точки приложения силы.

(вроде как скалярный вид) |М|=|F|*d

Вектор момента силы – совпадает с осью О 1 О 2 , его направление определяется првилом правого винта.Момент силы измеряется в ньютон-метрах . 1 Н м - момент силы, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м.

3.Что называется вектором: поворота, угловой скорости, углового ускорения. Куда они направлены, как определить это направление на практике?

Векторы – это псевдовекторы или аксиальные векторы, не имеющие определённую точку приложения: они откладываются на оси вращения из любой её точки.

Угловое перемещение — это псевдовектор, модуль которого равен углу поворота, а направление совпадает с осью, вокруг которой тело поворачивается, и определяется правилом правого винта: вектор направлен в ту сторону, откуда поворот тела виден против хода часовой стрелки(измеряется в радианах)

Угловая скорость — величина, характеризующая быстроту вращения твёрдого тела, равная отношению элементарного угла поворота и прошедшего времени dt, за который прошёл этот поворот.

Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, так же, как и вектор.

Угловое ускорение — величина, характеризующая быстроту перемещения угловой скорости.

Вектор направлен вдоль оси вращения в сторону вектора при ускоренном вращении и противоположно вектору при замедленном вращении.

4.Чем полярный вектор отличается от аксиального?

Полярный вектор обладает полюсом, а аксиальный — нет.

5.Что называется моментом инерции материальной точки, твердого тела?

Момент инерции — величина, характеризующая меру инерции материальной точки при её вращательном движении вокруг оси. Численно она равна произведению массы на квадрат радиуса (расстояния до оси вращения). Для твердого тела момент инерции равен сумме моментов инерции её частей, и поэтому может быть выражена в интегральной форме:

6.От каких параметров зависит момент инерции твердого тела?

От геометрических размеров

От выбора оси вращения

7.Теорема Штейнера (поясняющий рисунок).

Теорема: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

— искомый момент инерции относительно параллельной оси

— известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела

— расстояние между указанными осями

8. Момент инерции шара, цилиндра, стержня, диска.

Моментом инерции м.т. относительно полюса называют скалярную величину, равную произведению массы этой. точки на квадрат расстояния до полюса..

Момент инерции м.т. можно найти по формуле

где m — масса м.т., R — расстояние до полюса 0.

Единицей измерения момента инерции в СИ является килограмм умноженный на метр в квадрате (кг?м 2).

1.Прямой тонкий стержень длины l и массыm

1) Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс

2)Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец

2.Шар радиуса r и массыm

Ось проходит через центр шара

3.Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массыm

4.Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массыm

5.Сплошной цилиндр длины l , радиусаr и массыm

Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс

9.Как определить направление момента силы?

Момент силы относительно некоторой точки - это векторное произведение силы накратчайшее расстояние от этой точки до линии действия силы.

M - момент силы (Ньютон · метр),F - Приложенная сила (Ньютон),r - расстояние от центра вращения до места приложения силы (метр),l - длина перпендикуляра, опущенного из центра вращения на линию действия силы (метр),? - угол, между вектором силыF и вектором положенияr

Момент силы - аксиальный вектор . Он направлен вдоль оси вращения. Направление вектора момента силы определяется правилом буравчика, а величина его равнаM .

10.Как складываются момент сил, угловые скорости, моменты импульса?

Если на тело, которое может вращаться вокруг какой-либо точки, действует одновременно несколько сил, то для сложения моментов этих сил следует использовать правило сложения моментов сил.

Правило сложения моментов сил гласит - Результирующий вектор момента силы равен геометрической сумме составляющих векторов моментов с

Для правила сложения моментов сил различают два случая

1. Моменты сил лежат в одной плоскости, оси вращения параллельны . Их сумма определяется путем алгебраического сложения. Правовинтовые моменты входят в сумму со знаком минус . Левовинтовые - со знаком плюс

2. Моменты сил лежат в разных плоскостях, оси вращения не параллельны . Сумма моментов определяется путем геометрического сложения векторов.

Углова?я ско?рость(рад/с) - физическая величина, являющаяся аксиальным вектором и характеризующая скорость вращения материальной точки вокруг центра вращения. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота точки вокруг центра вращения в единицу времени

направлен по оси вращения согласно правилу буравчика, то есть, в ту сторону, в которую ввинчивался бы буравчик с правой резьбой, если бы вращался в ту же сторону.

Угловые скорости откладываются на оси вращения и могут складываться в том сллучае если они направлены в одну сторону, в противоположную — вычитаются

В Международной системе единиц (СИ) импульс измеряется в килограмм-метр в секунду (кг·м/с).

Моме?нт и?мпульса характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Если имеется материальная точка массой, двигающаяся со скоростью и находящаяся в точке, описываемой радиус-вектором, то момент импульса вычисляется по формуле:

где - знак векторного произведения

11.Сформулируйте закон сохранения полной механической энергии применительно к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси.

потенциальная энергия максимальна в начальной точке движения маятника. Потенциальная энергия MgH переходит в кинетическую, которая максимальна в момент приземления маятника на землю.

Iо-момент инерции относительно оси для одного грузика (их у нас 4)

I= 4Iо=4ml^2 (Io=ml^2)

12.Сформулируйте закон сохранения полной механической энергии применительно к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси.

Момент импульса вращающегося тела прямо пропорционален скорости вращения тела, его массе и линейной протяженности. Чем выше любая из этих величин, тем выше момент импульса.

В математическом представлении момент импульса L тела, вращающегося с угловой скоростью? , равенL = I? , где величинаI , называемаямоментом инерции

скорость вращения маятника многократно возрастает вследствие уменьшения момента инерции при сохранении момента вращения. Тут мы и убеждаемся наглядно, что чем меньше момент инерции I , тем выше угловая скорость? и, как следствие, короче период вращения, обратно пропорциональный ей.

Момент импульса вращающегося тела

где – масса тела; – скорость; – радиус орбиты, по которой перемещается тело; – момент инерции; – угловая скорость вращающегося тела.

Закон сохранения момента импульса:

– для вращательного движения

13.Каким выражением определяется работа момента сил

В системе СИ работа измеряется в Джоулях, момент силы в Ньютон* метр, а УГОЛ в радианах

Обычно известна угловая скорость в радианах в секунду и время действия МОМЕНТА.

Тогда совершенная МОМЕНТОМ силы РАБОТА рассчитывается как:

14.Получите формулу, определяющую мощность, развиваемую моментом сил.

Если сила совершает действие на каком-либо расстоянии, то она совершает механическую работ. Также если момент силы совершает действие через угловое расстояние, он совершает работу.

В системе CИ мощность измеряется в Ваттах, момент силы в ньютон-метрах, а УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ в радианах в секунду.

Конечно, положение одной, даже «особой», точки далеко не полностью описывает движение всей рассматриваемой системы тел, но все-таки лучше знать положение хотя бы одной точки, чем не знать ничего. Тем не менее рассмотрим применение законов Ньютона к описанию вращения твердого тела вокруг фиксированной оси 1 .

Начнем с простейшего случая: пусть материальная точка массы m прикреплена с помощью невесомого жесткого стержня длиной r к неподвижной оси ОО / (рис. 106).

Материальная точка может двигаться вокруг оси, оставаясь от нее на постоянном расстоянии, следовательно, ее траектория будет являться окружностью с центром на оси вращения.

Безусловно, движение точки подчиняется уравнению второго закона Ньютона

Однако непосредственное применение этого уравнения не оправдано: во-первых, точка обладает одной степенью свободы, поэтому в качестве единственной координаты удобно использовать угол поворота, а не две декартовые координаты; во-вторых, на рассматриваемую систему действуют силы реакции в оси вращения, а непосредственно на материальную точку − сила натяжения стержня. Нахождение этих сил представляет собой отдельную проблему, решение которой излишне для описания вращения. Поэтому имеет смысл получить на основании законов Ньютона специальное уравнение, непосредственно описывающее вращательное движение.

Пусть в некоторый момент времени на материальную точку действует некоторая сила F , лежащая в плоскости, перпендикулярной оси вращения (рис. 107).

При кинематическом описании криволинейного движения вектор полного ускорения а удобно разложить на две составляющие − нормальную а n , направленную к оси вращения, и тангенциальную а τ , направленную параллельно вектору скорости. Значение нормального ускорения для определения закона движения нам не нужно. Конечно, это ускорение также обусловлено действующими силами, одна из которых − неизвестная сила натяжения стержня.

Запишем уравнение второго закона в проекции на тангенциальное направление:

Заметим, что сила реакции стержня не входит в это уравнение, так как она направлена вдоль стержня и перпендикулярна выбранной проекции. Изменение угла поворота φ непосредственно определяется угловой скоростью

изменение которой, в свою очередь, описывается угловым ускорением

Угловое ускорение связано с тангенциальной составляющей ускорения соотношением

Если подставим это выражение в уравнение (1), то получим уравнение, пригодное для определения углового ускорения. Удобно ввести новую физическую величину, определяющую взаимодействие тел при их повороте. Для этого умножим обе части уравнения (1) на r :

Рассмотрим выражение в его правой части F τ r , имеющее смысл

произведения тангенциальной составляющей силы на расстояние от оси вращения до точки приложения силы. Это же произведение можно представить в несколько иной форме (рис. 108):

здесь d − расстояние от оси вращения до линии действия силы, которое также называют плечом силы.

Эта физическая величина − произведение модуля силы на расстояние от линии действия силы до оси вращения (плечо силы) М = Fd − называется моментом силы. Действие силы может приводить к вращению как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки. В соответствии с выбранным положительным направлением вращения следует определять и знак момента силы. Заметьте, что момент силы определяется той составляющей силы, которая перпендикулярна радиус-вектору точки приложения. Составляющая вектора силы, направленная вдоль отрезка, соединяющего точку приложения и ось вращения, не приводит к раскручиванию тела. Эта составляющая при закрепленной оси компенсируется силой реакции в оси, поэтому не влияет на вращение тела.

Запишем еще одно полезное выражения для момента силы. Пусть сила F приложена к точке А , декартовые координаты которой равны х , у (рис. 109).

Разложим силу F на две составляющие F х , F у , параллельные соответствующим осям координат. Момент силы F относительно оси, проходящей через начало координат, очевидно равен сумме моментов составляющих F х , F у , то есть

Аналогично, тому, как нами было введено понятие вектора угловой скоро¬сти, можно определить также и понятие вектора момента силы. Модуль этого вектора соответствует данному выше определению, направлен же он перпендикулярно плоскости, содержащей вектор силы и отрезок, соединяющий точку приложения силы с осью вращения (рис. 110).

Вектор момента силы также может быть определен как векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы

Заметим, что при смещении точки приложения силы вдоль линии ее действия момент силы не изменяется.

Обозначим произведение массы материальной точки на квадрат расстояния до оси вращения

(эта величина называется моментом инерции материальной точки относительно оси). С использованием этих обозначений уравнение (2) приобретает вид, формально совпадающий с уравнением второго закона Ньютона для поступательного движения:

Это уравнение называется основным уравнением динамики вращательного движения. Итак, момент силы во вращательном движении играет такую же роль, как и сила в поступательном движении, − именно он определяет изменение угловой скорости. Оказывается (и это подтверждает наш повседневный опыт), влияние силы на скорость вращения определяет не только величина силы, но и точка его приложения. Момент инерции определяет инерционные свойства тела по отношению к вращению (говоря простым языком − показывает, легко ли раскрутить тело): чем дальше от оси вращения находится материальная точка, тем труднее привести ее во вращение.

Уравнение (3) допускает обобщение на случай вращения произвольного тела. При вращении тела вокруг фиксированной оси угловые ускорения всех точек тела одинаковы. Поэтому аналогично тому, как мы проделали при выводе уравнения Ньютона для поступательного движения тела, можно записать уравнения (3) для всех точек вращающегося тела и затем их просуммировать. В результате мы получим уравнение, внешне совпадающее с (3), в котором I − момент инерции всего тела, равный сумме моментов составляющих его материальных точек, M − сумма моментов внешних сил, действующих на тело.

Покажем, каким образом вычисляется момент инерции тела. Важно подчеркнуть, что момент инерции тела зависит не только от массы, формы и размеров тела, но и от положения и ориентации оси вращения. Формально процедура расчета сводится к разбиению тела на малые части, которые можно считать материальными точками (рис. 111),

и суммированию моментов инерции этих материальных точек, которые равны произведению массы на квадрат расстояния до оси вращения:

Для тел простой формы такие суммы давно подсчитаны, поэтому часто достаточно вспомнить (или найти в справочнике) соответствующую формулу для нужного момента инерции. В качестве примера: момент инерции кругового однородного цилиндра, массы m и радиуса R , для оси вращения, совпадающей с осью цилиндра равен:

1 В данном случае мы ограничиваемся рассмотрением вращения вокруг фиксированной оси, потому что описание произвольного вращательного движения тела представляет собой сложную математическую проблему, далеко выходящую за рамки курса математики средней школы. Знания же других физических законов, кроме рассматриваемых нами, это описание не требует.

Закон ньютона для вращательного движения

Систематизация физических величин приводит к тому, что второй закон Ньютона не следует ограничивать рамками прямолинейной формы движения, а распространить его на все механические формы движения, а также следует уточнить терминологию, касающуюся величин, описывающих этот закон в обобщенной форме записи.

1. Второй закон Ньютона при прямолинейной форме движения.

Второй закон Ньютона декларируется как уравнение динамики при неравномерном движении в механической прямолинейной форме движения и приводится в учебниках по физике обычно в двух формах записи:

2. Второй закон Ньютона при вращательной форме движения.

При неравномерном вращении тела запись второго закона Ньютона, аналогичная уравнению (3), должна выглядеть так:

3. Второй закон Ньютона при орбитальной форме движения.

Орбитальная форма движения, как показано в статье о формам движения, состоит в общем случае из 4-х простых форм движения (двух прямолинейных и двух вращательных). В статье, посвященной ускорениям при орбитальной форме движения, выведены уравнения для определения ускорений в каждой из этих 4-х форм движения. Поэтому второй закон Ньютона можно записать для каждой из них в виде уравнений (3) или (4).

F Iτ – касательная сила инерции, противодействующая изменению касательной скорости; m – масса тела, движущегося по круговой орбите.

4. Обобщенный второй закон Ньютона.

Все три уравнения (3, 4, 5) имеют, как и следовало ожидать, одинаковую структуру, в которой учитывается только одно обобщенное противодействие инертности U I , описанное на странице, посвященной обобщенным параметрам форм движения. На этом основании можно вывести обобщенную запись второго уравнения Ньютона в виде:

5. Размерности и единицы линейной и вращательной инертностей.

В СИ для инертной массы применяют единицу килограмм, так как в СИ придерживаются нерелевантного принципа эквивалентности масс. В системе величин ЭСВП линейная инертность I имеет размерность EL -2 T 2 и единицу Дж м -2 с 2 . В статье, посвященной принципу эквивалентности масс, показано, что масса во втором законе Ньютона и масса в законе всемирного тяготения должны иметь разные размерности и единицы.

www.physicalsystems.org

Второй закон Ньютона для вращательного движения

Так как момент импульса вращающегося тела прямо пропорционален угловой скорости ? вращения, а производная d ?/dt есть угловое ускорение ? , то это уравнение может быть представлено в виде

где J – момент инерции тела.

Уравнения (14) и (15), описывающие вращательное движение тела, по своему содержанию аналогичны второму закону Ньютона для поступательного движения тел (m a = F ). Как видно, при вращательном движении в качестве силы F используется момент силы M , в качестве ускорения a – угловое ускорение ? , а роль массы m , характеризующей инерционные свойства тела, играет момент инерции J .

Момент инерции твердого тела определяет пространственное распределение массы тела и является мерой инертности тела при вращательном движении. Для материальной точки, или элементарной массы?m i , вращающейся вокруг оси, введено понятие момента инерции, который представляет собой скалярную величину, численно равную произведению массы на квадрат расстояния r i до оси:

Момент же инерции объемного твердого тела есть сумма моментов инерции составляющих его элементарных масс:

Д ля однородного тела с равномерно распределенной плотностью? = ?m i /?V i (?V i – элементарный объем) можно записать:

или, в интегральной форме (интеграл берется по всему объему):

Расположение оси (указано стрелкой)

Обруч радиуса r

Диск радиуса r при толщине, пренебрежимо малой по сравнению с радиусом

Сплошной цилиндр радиуса r с высотой l

Полый цилиндр с внутренним радиусом r и толщиной стенок d

Тонкий стержень длиной l

Прямоугольный параллелепипед со сторонами a , b и c

Куб с длиной ребра a

Описание установки и принципа измерений:

О сновным элементом установки, осуществляющим вращательное движение вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка, является крестовина1 , состоящая из четырех ввинченных в шкив 2 под прямым углом друг к другу стержней (спиц), на каждый из которых надет свободно перемещаемый вдоль стержня цилиндрический груз 3 массой, закрепляемый в нужном положении винтом4 . Вдоль всей длины спиц с сантиметровым интервалом нанесены поперечные нарезки, с помощью которых можно легко отсчитать расстояния от центра расположения грузов до оси вращения. Перемещением грузов достигается изменение момента инерции J всей крестовины.

Упрощенная схема маятника представлена на рисунке 5.

На грузP 0 действуют постоянные силы: сила тяжести mg и сила натяжения нити T , под действием которых груз движется вниз равноускоренно с ускорением a . Шкив радиуса r 0 под действием силы натяжения нити T вращается с угловым ускорением?, при этом тангенциальное ускорение a t крайних точек шкива будет равно ускорению a опускающегося груза. Ускорения a и? связаны соотношением:

Следовательно, вращающий момент будет равен:

или, подставляя выражение для a (15):

Если момент инерции тела постоянен, то разные вращающие моменты М 1 и М 2 сообщат телу разные угловые ускорения? 1 и? 2 , т.е. будем иметь:

Сравнивая эти выражения, получаем:

Порядок выполнения работы:

Задание выполняется с крестовиной без надетых на нее грузов.

Измерьте штангенциркулем диаметр выбранного шкива и найдите его радиус r 0 . Значение r 0 занесите в таблицу 2.

После каждого опыта проведите следующие расчеты (занося их результаты в таблицу 2):

рассчитайте среднее время опускания груза t 0 ср. и, используя его, по формуле (22) определите линейное ускорение грузов a . С таким же ускорением движутся точки на поверхности шкива;

зная радиус шкива r 0 , по формуле (23) найдите его угловое ускорение?;

используя полученное значение линейного ускорения a по формуле (26) найдите вращающий момент М ;

на основе полученных значений? и M вычислите по формуле (29) момент инерции маховика J 0 без грузов на стержнях.

По результатам всех опытов рассчитайте и занесите в таблицу 2 среднее значение момента инерции J 0,ср. .

Для второго и последующих опытов рассчитайте, занося результаты расчетов в таблицу 2, отношения? i /? 1 и М i /M 1 (i – номер опыта). Проверьте правильность соотношения М i /M 1 = ? 1 /? 2 .

Значения абсолютных погрешностей?r , ?t , ?h считайте равными приборным погрешностям; ?m 0 = 0,5 г.

Постоянные в данном задании параметры установки, используемые в расчетах:

Вращательное движение тела. Закон вращательного движения

В этой статье описывается важный раздел физики — «Кинематика и динамика вращательного движения».

Основные понятия кинематики вращательного движения

Вращательным движением материальной точки вокруг неподвижной оси называют такое движение, траекторией которого является окружность, находящаяся в плоскости перпендикулярной к оси, а центр ее лежит на оси вращения.

Вращательное движение твердого тела — это движение, при котором по концентрическим (центры которых лежат на одной оси) окружностям движутся все точки тела в соответствии с правилом для вращательного движения материальной точки.

Пусть произвольное твердое тело T совершает вращения вокруг оси O, которая перпендикулярна плоскости рисунка. Выберем на данном теле точку M. При вращении эта точка будет описывать вокруг оси O круг радиусом r .

Через некоторое время радиус повернется относительно исходного положения на угол Δφ.

За положительное направление поворота принято направление правого винта (по часовой стрелке). Изменение угла поворота со временем называется уравнением вращательного движения твердого тела:

Если φ измерять в радианах (1 рад — это угол, соответствующий дуге, длиной равной ее радиусу), то длина дуги окружности ΔS, которую пройдет материальная точка M за время Δt, равна:

Основные элементы кинематики равномерного вращательного движения

Мерой перемещения материальной точки за небольшой промежуток времени dt служит вектор элементарного поворота dφ .

Угловая скорость материальной точки или тела — это физическая величина, которая определяется отношением вектора элементарного поворота к продолжительности этого поворота. Направление вектора можно определить правилом правого винта вдоль оси О. В скалярном виде:

Если ω = dφ/dt = const, то такое движение называется равномерное вращательное движение. При нем угловую скорость определяют по формуле

Согласно предварительной формуле размерность угловой скорости

Равномерное вращательное движение тела можно описать периодом вращения. Период вращения T — физическая величина, определяющая время, за которое тело вокруг оси вращения выполняет один полный оборот ([T] = 1 с). Если в формуле для угловой скорости принять t = T, φ = 2 π (полный один оборот радиуса r), то

поэтому период вращения определим следующим образом:

Число оборотов, которое за единицу времени совершает тело, называется частотой вращения ν, которая равна:

Единицы измерения частоты: [ν]= 1/c = 1 c -1 = 1 Гц.

Сравнивая формулы для угловой скорости и частоты вращения, получим выражение, связывающее эти величины:

Основные элементы кинематики неравномерного вращательного движения

Неравномерное вращательное движение твердого тела или материальной точки вокруг неподвижной оси характеризует его угловая скорость, которая изменяется со временем.

Вектор ε , характеризующий скорость изменения угловой скорости, называется вектором углового ускорения:

Если тело вращается, ускоряясь, то есть dω/dt > 0 , вектор имеет направление вдоль оси в ту же сторону, что и ω.

Если вращательное движение замедлено — dω/dt < 0 , то векторы ε и ω противоположно направлены.

Замечание . Когда происходит неравномерное вращательное движение, вектор ω может меняться не только по величине, но и по направлению (при повороте оси вращения).

Связь величин, характеризующих поступательное и вращательное движение

Известно, что длина дуги с углом поворота радиуса и его величиной связана соотношением

Тогда линейная скорость материальной точки, выполняющей вращательное движение

Нормальное ускорение материальной точки, что выполняет вращательно поступательное движение, определим следующим образом:

Итак, в скалярном виде

Тангенциальное ускоренной материальной точки, которая выполняет вращательное движение

Момент импульса материальной точки

Векторное произведение радиуса-вектора траектории материальной точки массой m i на ее импульс называется моментом импульса этой точки касательно оси вращения. Направление вектора можно определить, воспользовавшись правилом правого винта.

Момент импульса материальной точки (L i ) направлен перпендикулярно плоскости, проведенной через r i и υ i , и образует с ними правую тройку векторов (то есть при движении с конца вектора r i к υ i правый винт покажет направление вектора L i).

В скалярной форме

Учитывая, что при движении по кругу радиус-вектор и вектор линейной скорости для i-й материальной точки взаимно перпендикулярные,

Так что момент импульса материальной точки для вращательного движения примет вид

Момент силы, которая действует на i-ю материальную точку

Векторное произведение радиуса-вектора, который проведен в точку приложения силы, на эту силу называется моментом силы, действующей на i-ю материальную точку относительно оси вращения.

Величина l i , равная длине перпендикуляра, опущенного из точки вращения на направление действия силы, называется плечом силы F i .

Динамика вращательного движения

Уравнение динамики вращательного движения записывается так:

Формулировка закона следующая: скорость изменения момента импульса тела, которое совершает вращение вокруг неподвижной оси, равна результирующему моменту относительно этой оси всех внешних сил, приложенных к телу.

Момент импульса и момент инерции

Известно, что для i-й материальной точки момент импульса в скалярной форме задается формулой

Если вместо линейной скорости подставить ее выражение через угловую:

то выражение для момента импульса примет вид

Величина I i = m i r i 2 называется моментом инерции относительно оси i-й материальной точки абсолютно твердого тела, проходящей через его центр масс. Тогда момент импульса материальной точки запишем:

Момент импульса абсолютно твердого тела запишем как сумму моментов импульса материальных точек, составляющих данное тело:

Момент силы и момент инерции

Закон вращательного движения гласит:

Известно, что представить момент импульса тела можно через момент инерции:

Учитывая, что угловое ускорение определяется выражением

получим формулу для момента силы, представленного через момент инерции:

Замечание. Момент силы считается положительным, если угловое ускорение, которым он вызван, больше нуля, и наоборот.

Теорема Штейнера. Закон сложения моментов инерции

Если ось вращения тела через центр масс его не проходит, то относительно этой оси можно найти его момент инерции по теореме Штейнера:

где I 0 — начальный момент инерции тела; m — масса тела; a — расстояние между осями.

Если система, которая совершает обороты округ неподвижной оси, состоит из n тел, то суммарный момент инерции такого типа системы будет равен сумме моментов, ее составляющих (закон сложения моментов инерции).

ЛИТЕРАТУРА

Основная

Сотский Н.Б. Биомеханика. – Мн: БГУФК, 2005.

Назаров В.Т. Движения спортсмена. М., Полымя 1976

Донской Д.Д. Зациорский В.М. Биомеханика: Учебник для институтов физической культуры.- М., Физкультура и спорт, 1979.

Загревский В.И. Биомеханика физических упражнений. Учебное пособие. – Могилев: МГУ им А.А. Кулешова, 2002.

Дополнительная

Назаров В.Т. Биомеханическая стимуляция: явь и надежды.-Мн., Полымя, 1986.

Уткин В.Л. Биомеханика физических упражнений.- М., Просвещение, 1989.

Сотский Н.Б., Козловская О.Н., Корнеева Ж.В. Курс лабораторных работ по биомеханике. Мн.: БГУФК, 2007.

Законы Ньютона для поступательного и вращательного движений.

Формулировка законов Ньютона зависит от характера движения тел, которое можно представить как совокупность поступательного и вращательного движений.

При описании законов динамики поступательного движения следует учитывать, что все точки физического тела движутся одинаково, и для описания закономерностей этого движения можно заменить все тело одной точкой, содержащей количество вещества, соответствующее всему телу. В данном случае закон движения тела как целого в пространстве не будет отличаться от закона движения указанной точки.

Первый закон Ньютона устанавливает причину, вызывающую движение или изменяющую его скорость. Такой причиной является взаимодействие тела с другими телами. Это отмечено в одной из формулировок первого закона Ньютона: "Если на тело не действуют другие тела, то оно сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения".

Используя понятие силы, можно сформулировать первый закон Ньютона и по-другому: "Если на тело не действуют силы, то оно сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения".

Второй закон Ньютона устанавливает количественную связь между силой взаимодействия тел и приобретаемым ускорением. Так, при поступательном движении приобретаемое телом ускорение прямо пропорционально действующей на тело силе. Чем больше указанная сила, тем большее ускорение приобретает тело.

Для учета свойств взаимодействующих тел, проявляющихся при сообщении им ускорения, вводится коэффициент пропорциональности между силой и ускорением, который называется массой тела. Введение массы позволяет записать второй закон Ньютона в виде:

a = -- (2.1)

где а - вектор ускорения; F - вектор силы; m - масса тела.

Следует обратить внимание, что в приведенной формуле ускорение и сила - векторы, следовательно, они не только связаны пропорциональной зависимостью, но и совпадают по направлению.

Массу тела, вводимую вторым законом Ньютона, связывают с таким свойством тел, как инертность. Она является мерой данного свойства. Инертность тела представляет собой его способность сопротивляться изменению скорости. Так, тело, обладающее большой массой и, соответственно, инертностью, трудно разогнать и не менее трудно остановить.

Третий закон Ньютона дает ответ на вопрос о том, как именно взаимодействуют тела. Он утверждает, что при взаимодействии тел сила действия со стороны одного тела на другое равна по величине и противоположна по направлению силе, действующей со стороны другого тела на первое.

Например, толкатель ядра, разгоняя свой снаряд, действует на него с определенной силой F , одновременно такая же по величине, но противоположная по направлению сила действует на кисть спортсмена и через нее на все тело в целом. Если это не учитывать, атлет может не удержаться в пределах сектора для метания, и попытка не будет засчитана.

В случае, если физическое тело взаимодействует одновременно с несколькими телами, все действующие силы складываются по правилу сложения векторов. В таком случае в первом и втором законах Ньютона имеется в виду равнодействующая всех сил, действующих на тело.

Динамические характеристики поступательного движения (сила, масса).

Мерой взаимодействия тел, в результате которого изменяется характер их движения, является сила. Таким образом, если какое-либо физическое тело, например тело спортсмена, приобрело ускорение, то причину следует искать в действии силы со стороны другого тела. Например, при выполнении прыжка в высоту, вертикальная скорость тела спортсмена после отрыва от опоры до достижения наивысшего положения все время уменьшается. Причиной этого является сила взаимодействия тела спортсмена и земли - сила земного тяготения. В гребле как причиной ускорения лодки, так и причиной ее замедления, является сила сопротивления воды. В одном случае она, воздействуя на корпус лодки, замедляет движение, а в другом, взаимодействуя с веслом, увеличивает скорость судна. Как видно из приведенных примеров, силы могут действовать как на расстоянии, так и при непосредственном контакте взаимодействующих объектов.

Известно, что одна и та же сила, действуя на разные тела, приводит к различным результатам. Например, если борец среднего веса пытается толкнуть соперника своей весовой категории, а затем атлета тяжелого веса, то ускорения, приобретаемые в обоих случаях, будут заметно различаться. Так, тело соперника-средневеса приобретет большее ускорение, чем в случае соперника-тяжеловеса.

Если говорить более строго, то если на разные тела действовать одной и той же силой, то наиболее быстрое изменение скорости за один и тот же промежуток времени будет наблюдаться у наименее массивного тела, а наиболее медленное - у наиболее массивного.

Динамические характеристики вращательного движения (момент силы, момент инерции).

В случае вращательного движения тела, сформулированные законы динамики также справедливы, однако в них используются несколько другие понятия. В частности, "сила" заменяется на "момент силы", а "масса" - на момент инерции.

Момент силы является мерой взаимодействия тел при вращательном движении. Он определяется произведением величины силы на плечо этой силы относительно оси вращения. Плечом силы называется кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы. Так, при выполнении большого оборота на перекладине в ситуации, представленной на рис. 13, спортсмен совершает вращательное движение под действием силы тяжести. Величина момента силы определяется силой тяжести mg и плечом этой силы относительно оси вращения d. В процессе выполнения большого оборота вращающее действие силы тяжести изменяется в соответствии с изменением величины плеча силы.

Рис. 13. Момент силы тяжести при выполнении большого оборота на перекладине

Так, минимальное значение момента силы будет наблюдаться в верхнем и нижнем положениях, а максимальное - при расположении тела, близком к горизонтальному. Момент силы является вектором. Его направление перпендикулярно плоскости вращения и определяется по правилу "буравчика". В частности, для ситуации, представленной на рис., вектор момента силы направлен "от наблюдателя" и имеет знак "минус".

В случае плоских движений знак момента силы удобно определять из следующих соображений: если сила действует на плечо, стремясь повернуть его в направлении "против часовой стрелки", то такой момент силы имеет знак "плюс", а если "по часовой стрелке" - то знак "минус".

Согласно первому закону динамики вращательного движения, тело сохраняет состояние покоя (в отношении вращательного движения) или равномерного вращения при отсутствии действующих на него моментов сил или равенстве нулю суммарного момента.

Второй закон Ньютона для вращательного движения имеет вид:

e = --- (2.2)

где e - угловое ускорение;М - момент силы; J - момент инерции тела.

Согласно данному закону, угловое ускорение тела прямо пропорционально действующему на него моменту силы и обратно пропорционально его моменту инерции.

Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении. Для материальной точки массы m, расположенной на расстоянии r от оси вращения, момент инерции определяется как J = mr 2 . В случае твердого тела полный момент инерции определяется как сумма моментов инерции составляющих его точек и находится с помощью математической операции интегрирования.

Основные силы, имеющие место при выполнении физических упражнений.

Сила тяжести тела, находящегося вблизи поверхности земли, может быть определена массой тела m и ускорением свободного падения g:

F = mg (2.30)

Сила тяжести, действующая на физическое тело со стороны земли, всегда направлена вертикально вниз и приложена в общем центре тяжести тела.

Сила реакции опоры действует на физическое тело со стороны поверхности опоры и может быть разложена на две составляющие - вертикальную и горизонтальную. Горизонтальная в большинстве случаев представляет собой силу трения, закономерности которой будут рассмотрены ниже. Вертикальная реакция опоры численно определяется следующим соотношением:

R = mа + mg (2.31)

где а - ускорение центра масс тела, находящегося в контакте с опорой.

Сила трения . Сила трения может проявлять себя двояко. Это может быть сила трения, возникающая при ходьбе и беге, как горизонтальная реакция опоры. В таком случае, как правило, звено тела, взаимодействующее с опорой, не перемещается относительно последней, и сила трения называется "силой трения-покоя". В других случаях имеет место относительное перемещение взаимодействующих звеньев, и возникающая сила представляет собой силу трения-скольжения. Следует отметить, что существует сила трения, воздействующая на перекатываемый объект, например, на мяч или колесо - трение-качения, однако, численные соотношения, определяющие величину такой силы, аналогичны имеющим место при трении-скольжении, и мы не будем рассматривать их отдельно.

Величина трения-покоя равна величине прилагаемой силы, стремящейся сдвинуть тело. Такая ситуация наиболее характерна для бобслея. Если перемещаемый снаряд находятся в покое, то для начала его перемещения необходимо приложить определенную силу. При этом снаряд начнет перемещаться только тогда, когда данная сила достигнет некоторого предельного значения. Последнее зависит от состояния соприкасающихся поверхностей и от силы давления тела на опору.

При превышении сдвигающей силой предельного значения, тело начинает перемещаться, скользить. Здесь сила трения-скольжения становится несколько меньше предельного значения трения-покоя, при котором начинается движение. В дальнейшем она в некоторой степени зависит от относительной скорости перемещаемых друг относительно друга поверхностей, однако для большинства спортивных движений можно считать ее приблизительно постоянной, определяемой следующим соотношением:

где k - коэффициент трения, а R - нормальная (перпендикулярная к поверхности) составляющая реакции опоры.

Силы трения в спортивных движениях выполняют, как правило, и положительную и отрицательную роль. С одной стороны, без силы трения невозможно обеспечить горизонтальное перемещение тела спортсмена. Например, во всех дисциплинах, связанных с бегом, прыжками, в спортивных играх и единоборствах стремятся увеличить коэффициент трения между спортивной обувью и поверхностью опоры. С другой стороны, во время соревнований по лыжному спорту, прыжкам с трамплина на лыжах, по санному спорту, бобслею, скоростному спуску первейшей задачей, обеспечивающей высокий спортивный результат, является уменьшение величины трения. Здесь это достигается подбором соответствующих материалов для лыж и санных полозьев или обеспечением соответствующей смазки.

Сила трения является основой для создания целого класса тренажерных устройств, для развития специфических качеств спортсмена, таких, как сила и выносливость. Например, в некоторых весьма распространенных конструкциях велоэргометров сила трения вполне точно задает нагрузку для тренирующегося.

Силы сопротивления окружающей среды . При выполнении спортивных упражнений тело человека всегда испытывает действие окружающей среды. Указанное действие может проявляться как в затруднении перемещений, так и обеспечивать возможность последнего.

Сила, действующая со стороны налетающего на движущееся тело потока, может быть представлена состоящей из двух слагаемых. Это - сила лобового сопротивления , направленная в сторону, противоположную движению тела, и подъемная сила , действующая перпендикулярно направлению движения. При выполнении спортивных движений силы сопротивления зависят от плотности среды r, скорости тела V относительно среды, площади тела S (рис. 24), перпендикулярной налетающему потоку среды и коэффициента С, зависящего от формы тела:

F сопр = СSrV 2 (2.33)

Рис. 24. Площадь, перпендикулярная налетающему потоку, определяющая величину силы

сопротивления.

Силы упругости . Силы упругости возникают при изменении формы (деформировании) различных физических тел, восстанавливающих первоначальное состояние после устранения деформирующего фактора. С такими телами спортсмен встречается при выполнении прыжков на батуте, прыжков с шестом, при выполнении упражнений с резиновыми или пружинными амортизаторами. Сила упругости зависит от свойств деформируемого тела, выражаемых коэффициентом упругости К, и величины изменения его формы Dl:

F упр. = - КDl (2.35)

Выталкивающая сила зависит от величины объема V тела или его части, погруженных в среду - воздух, воду или любую другую жидкость, плотности среды r и ускорения свободного падения g.